МКЭ. Сетки. Общие сведения.

Вторым шагом в решение задач МКЭ заключается в наложение на расчетную область сетки. Это очень ответственный шаг, поэтому рассмотрим его подробно.

Любая расчетная область делится на конечное число элементов. В настоящее время наиболее распространенными элементами являются гексаэдр, тетраэдр, пирамида и призма (см. рис. 1), причем пирамида и призма используются как переходные элементы между гексаэдрами и тетраэдрами, таким образом сетка получается либо гексаэдрическая, либо тетраэдрическая, редко смешанная.

Рис. 1. Вид элементов.

Элементы бывают первого, второго и третьего порядка. Элементы первого порядка не имеют ни одного узла на своем ребра, элементы второго порядка имеют один узел на каждом ребре, элементы третьего порядка имеют по два узла на каждом ребре. На рис. 5. изображен элемент второго порядка. Чем выше порядок элемента, тем больше точность расчета, тем больше вычислительных ресурсов требуется на решение задачи.

В ANSYS CFX используются элементы первого порядка, точность достигается количеством элементов, а сама расчетная цепочка строится через середины ребер элементов, тем самым объясняется необходимость хотя бы одного слоя элементов в плоской задачи.

Очень важным свойством сетки является ее качество. Для лучшей сходимости и точности результатов необходимо иметь сетку с высоким качеством. Качество сети зависит от качества каждого элемента, входящего в нее, и измеряется от 0 до 1. Существует три основных и один специфичный критерия и оценки качества сетки, это Mesh Orthogonality, Mesh Expansion, Mesh Aspect Ratio, Yplus.

Параметр Mesh Orthogonality отвечает за ортогональность сетки (см. рис). Данный параметр есть угол между направлением самого длинного ребра элемента и нормали к линии, проведенной через середину элемента, угол между вектором n и s. Для гексаэдров оптимальным углом является 90 градусов, для тетраэдров 60 градусов. Необходимо следить за данным параметром и стараться выдерживать его в оптимальных пределах.

Параметр Mesh Expansion, представляет собой отношение максимального и минимального расстоянии до центра масс соседних элементов (см.рис). Этот параметр дожжен быть не больше 20, а оптимальным значение этого параметра является единица. Mesh Expansion ограничивает резкий рост или, наоборот, падение размеров элементов сетки, другими словами необходимо стараться разбивать сетку на элементы одинакового размера.

Параметр Mesh Aspect Ratio представляет собой отношение максимального и минимального расстояния между отрезкам, соединяющих центры масс соседних элементов (см. рис.8). Значение данного параметра не должно превышать 100, оптимальным значением является 1. Mesh Aspect Ratio как и Mesh Expansion показывает равномерность накладываемой сети.

По относительному количеству элементов низкого и высокого качества судят о качестве всей сети, необходимо придерживаться высокого значения качества сети, приемлемое значение 0,5-1.

Невозможно определить максимальный размер элемента в сети, который обеспечивает необходимую точность. Начальный размер элементов принимается исходя из опыта решения подобных задач, причем количество элементов должно увеличиваться в областях, где ожидается большой градиент изменения параметров потока, при сверхзвуковых обтеканиях тел, например, необходимо мельчить сетку в районе самого тела и в районе ожидаемого скачка уплотнения. Далее проводится расчет, анализируются полученные данные, затем мельчат сеть, проводят еще один расчет, сравнивают с результатами, полученными на предыдущей сетке, и так, пока не будет различий между мелкой сеткой и более крупной. При отсутствии различий можно пользоваться сеткой полученной на предыдущем шаге.

Как уже говорилось, необходимо большое количество элементов в районе больших градиентов, у поверхности тела в пограничном слое наблюдается большой градиент скорости, которая изменяется от скорости набегающего потока до нуля на поверхности тела. Для оценки качества и размеров элементов в районе пограничного слоя введен такой параметр как Yplus.
Параметр y+ (Yplus) - безразмерная переменная, основанная на расстоянии от стенки сквозь пограничный слой к ближайшему узлу сетки. Его оптимальное значение зависит от модели турбулентности и степени развитости турбулентного пограничного слоя, исходя из опыта, число элементов в пограничном слое должно быть не меньше 20, иначе параметры потока в районе пограничного слоя будут ошибочными, так же надо не забывать, что толщина пограничного слоя разная в разных местах модели и количество элементов в пограничном слое придется находить итерационным путем.

В случае динамических сеток вопрос качества отходит на второй план, вследствие необходимости перестройки сетки программой во время расчета. Рассмотрим особенности построения и настройки динамических сеток на примере пластического формоизменения (сеток для ОМД). Существуют два типа задания сеток: Relative mesh (относительная сетка), когда задается максимальное количество конечных элементов, которое не может быть превышено во время расчета и Absolute mesh (абсолютная сетка), при построении которой задается минимальный размер элемента, а их общее количество меняется в процессе расчета.

Выбор типа сетки для расчета является нетривиальной задачей, т.к. именно этим определяется точность и сходимость решения, совпадение результатов расчета с экспериментальными данными.
Relative mesh в ряде случаем просчитать модели с минимальными временными затратами, однако ее применимость ограничена сложностью геометрии. В случае наличия в изделии небольших элементов, для описания которых потребуется большое количество мелких ячеек сетки, расчетная программа попытается забрать ячейки с других участков, увеличивая сетку в тех областях и теряя правильное описание геометрии и распределение свойств. В этих случаях возникает так называемый эффект усреднения параметров вдоль направлений, и вместо градиентов свойств, образующихся в действительности, можно получить равномерную картину распределения. Помимо этого использование Relative mesh в ряде случаев не позволяет осуществить расчет из-за проблем со сходимостью.

Absolute mesh лишена вышеуказанных недостатков, однако имеет свои собственные. Во-первых, отсутствие ограничения на количество элементов может привести на сложной геометрии к превышению допустимого лимита и «падению» расчета. Также увеличение количества конечных элементов приводит к увеличению его продолжительность (в среднем, увеличение числа конечных элементов в 2 раза приводит к увеличению времени расчета в 4 раза). Во-вторых, необходимо задавать минимальный размер конечного элемента, который может понадобиться для описания геометрии модели и возникающих дефектов (складок сетки, ее разрывов). Однако, несмотря на эти моменты, использование Absolute mesh является предпочтительным для моделирования геометрически сложных моделей, или тех, в которых возможно образование дефектов.

В некоторых программах для облегчения работы пользователя создан автоматический генератор сетки, работающий по принципу создания Absolute mesh на основе заложенных в программу параметров. При этом от пользователя не требуется задания размеров элементов. Их программа подбирает автоматически в процессе создания сетки и переразбиения во время расчета.

В этом случае на сетку можно оказывать влияние через параметр адаптации, который отвечает за качество описания КЭ сеткой геометрии изделия и градиента свойств. Значение по умолчанию является оптимальным по соотношению качество описания / время расчета. Однако если понадобиться провести пробный расчет, можно занизить данное значение и значительно повысить скорость.

Вторым важным моментом определяющим динамические сетки является их перестройка (переразбиение).

В большинстве программ, в которых используется динамическая сетка конечных элементов в процессе расчета форма элементов расчетной области при ее движении и изменении формы (деформации) происходит искривление формы конечных элементов, вплоть до полного их вырождения.

Рассмотрим простейший конечный элемент поверхностной сетки - треугольник. В процессе деформации сетки происходит изменение значений его углов, один из которых уменьшается вплоть до 0 градусов, при этом треугольник вырождается в отрезок, узлы (вершины) которого теряют возможность описывать свойства данной поверхностной среды. Чтобы этого не допустить, в программах реализован механизм перестройки сетки при достижении значений углов конечных элементов (треугольников, параллелограммов, тетраэдров, параллелепипедов и др.) заранее заданных значений, обычно 5-10 градусов.
Алгоритм переразбиения является уникальной разработкой каждой компании производителя программ, однако, в общем, его суть сводится к следующему: в областях с искаженными элементами строится новая неискаженная сетка, при этом узлам этой стеки присваиваются значения полей вычисляемых величин, экстраполируемых из узлов предыдущей искаженной сетки. При этом большая часть старой сетки остается без изменений, что значительно повышает скорость переразбиения.